Rumus Pythagoras Serta Soal dan Pembahasannya


Apakah di rumah kalian ada sebuah tangga yang menghubungkan antara lanntai satu dengan lantai lainya?. Penggunaan tangga berprinsip pada teorema pythagoras yang berlaku pada segitiga siku-siku. Jika tinggi lantai satu dengan lantai yang lain diketahui dan dan jarak mendatar ujung bawah tangga yang menyentuh lantai diketahui maka panjang tangga dapat di tentukan. Apa sajakah kegunaan rumus pythagoras dalam kehidupan sehari-hari yang lain?. Jawabannya dapat kalian temukan dengan mempelajari artikel di bawah ini.

Memeriksa Kebenaran dan Menerapkan Rumus Pythagoras

Seorang matematikawan berkebangsaan Yunani, Pythagoras (582 – 500 SM) merupakan orang pertama kali yang mengemukakan tentang rumus phytagoras. Rumus ini menyatakan bahwa “kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya”.

Memeriksa Kebenaran Rumus Pythagoras

Pada setiap Segitiga siku-siku terdapat dua sisi siku-siku da sebuah sisi miring (hipotenusa). Sisi siku-siku adalah sisi yang membentuk sudut siku-siku, sedangkan sisi miring adalah sisi yang berada di hadapan sudut siku-siku. Rumus pythagoras dapat diperiksa kebenarannya melalui luas persegi pada sisi segitiga siku-siku. Perhatikan gambar dibawah ini,!

Menerapkan Rumus Pythagoras
Menerapkan Rumus Pythagoras

Luas persegi pada sisi siku-siku (i) = 3^2 = 9
Luas persegi pada sisi siku-siku (Ii) = 4^2 = 16
Luas persegi pada sisi miring (iii) = 5^2 = 25
Jadi, dari (i) (II) dan (iii) diperoleh 3^2 + 4^2 = 5^2
Oleh sebab itu, dapat disimpulkan bahwapada segitiga siku-siku berlaku aturan “Kuadrat sisi miring = Jumlah Kuadrat sisi siku-sikunya”

Artikel menarik lainnya :   Analisa Data dan Distribusi Data Sederhana

Aturan tersebut dinamakan sebagai teorema pythagoras.

Secara matematis, rumus pythagoras pada sebuahsegitiga siku-siku dapat dituliskan sebagai berikut:

c^2 = a^2 + b^2 =>>> c = \sqrt{a^2 + b^2}

a^2 = c^2 - b^2 =>>> a = \sqrt{c^2 - b^2}

b^2 = c^2 - a^2 =>>> b = \sqrt{c^2 - a^2}

Menerapkan Rumus Pythagoras Untuk Menyelesaikan Masalah

Banyak permasalah nyata dalam kehidupan sehari-hari yang dapat di selesaikan dengan menggunakan rumus pythagoras. Guna memudahkan menyelesaikan, diperlukan bantuan gambar.

Contoh:

Sebuah tangga yang panjangnya 5meter tersandar pada pohon. Jarak ujung bawah tangga terhadap pohon adalah 3 meter. Hitunglah tinggi pohon yang dapat dicapai oleh tangga tersebut.
Penyelesaian:

Perhatikan Seketsa gambar dibawah ini:

Menerapkan Rumus Pythagoras Untuk Menyelesaikan Masalah
Menerapkan Rumus Pythagoras Untuk Menyelesaikan Masalah

Panjang tangga = 5m.
jarak ujung tangga terhadap pohon = 3m
Tinggi pohon yang dapat dicapai oleh tangga adalah t.
dengan menggunakan rumus Pythagoras, maka t dapat dicari:

t = \sqrt{5^2 - 3^2}

t = \sqrt{25 - 9}

t = \sqrt{16}

t = 4

Jadi, tinggi yang dapat dicapai oleh tangga adalah 4m.

Rumus Pythagoras pada Segitiga

Jenis segitiga dapat diidentifikasi dengan menggunakan kebalikan dari rumus phytagoras. Segitiga tersebut kemudian dapat dikategorikan sebagai segitiga siku-siku. segitiga lancip, atau segitiga tumpul.

Menentuka Jenis segitiga

Teorema pythagoras menyatakan bahwa untuk \Delta ABC, jika \angle C adalah sudut siku-siku, maka c^2 = a^2 + b^2. Kebalikan teorema pythagoras menyatakan bahwa untuk \Delta ABC, jika \angle C adalah sudut siku-siku, maka c^2 = a^2 + b^2. Dengan demikian, untuk \Delta ABC dengan panjang sisi-sisinya a, b, dan c, maka berlaku:

Menentuka Jenis segitiga
Menentuka Jenis segitiga

Menemukan dan Memeriksa Tripel Pythagoras

Tripel pythagoras merupakan tiga bilangan asli yang memenuhi Rumus pythagoras. Jika panjang sisi-sisi segitiga membentuk teorema pythagoras maka dipastikan bahwa segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku. Jika dilihat dari kelipatan bilangan terkecil maka tripel pythagoras dapat dikelompokan menjadi beberapa tipe yaitu sebagai berikut:

Artikel menarik lainnya :   Rumus Volume Balok Beserta Contoh Soalnya

Tripel pythagoras sangat berguna dalam menentukan apakah sebuh segitiga siku-siku atau tidak. Guna memperoleh tripel pythagoras dapat digunakan aturan sebagai berikut:

Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras
  • Tempatkan dua bilangan asli misalkan m dan n yang memenuhu m > n
  • hitunglah masing-masing nilai m^2 - n^2, 2mn, dan m^2+n^2.
  • Hasil dari perhitungan dari m^2 - n^2, 2mn, dan m^2+n^2 merupakan triple pythagoras.

misal kita mengambill dua bilangan yaitu m = 2 dan n=1 maka nilai :

m^2 - n^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3
2mn = 2.2.1=4
m^2 + n^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5

Jadi bilangan yang diperoleh yaitu 3, 4, dan 5 merupakan triple pythagoras.

Menemukan perbandingan sisi-sisi pada Segitiga Siku-siku sama kaki

Pada segitiga siku-siku sama kaki, maka kedua kakinya sama panjang. Oleh karena itu, dengan memisah kan panjang kaki sudutnya 1 satuan, maka panjang sisi miring dapat ditentukan dengan menggunakan Rumus Pythagoras.

Segitiga Siku-siku sama kaki
Segitiga Siku-siku sama kaki

Panjang sisi Miring = AB

AB^2 = AC^2 + BC^2
AB = \sqrt{AC^2 + BC^2 }
AB = \sqrt{1^2 + 1^2 }
AB = \sqrt{2 }

Dengan demikian, perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku sama kaki adalah AB : BC : AB = 1 : 1 : \sqrt{2 }

Menentukan Perbandingan Panjang Sisi Segitiga yang Bersudut 30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}

Suatu \Delta ABC diketahui sama sisi. Jika segitiga sama sisi tersebut dipotong menjadi 2 bagian yang sama besar maka akan dihasilkan 2 segitiga siku-siku yaitu \Delta ADC, siku-siku di D dan \Delta BDC dan sudut siku-siku di titik D. selain itu dihasilkan \angle CAD \angle CBD = 60^{\circ}, \angle ACD \angle BCD = 30^{\circ} dan \angle ADC \angle BCD = 90^{\circ}. Jika misalkan panjang sisi segitiga sama sisi tersebut adalah 2 satuan, maka panjang sisi lainnya dapat ditentukan dengan benggunakan Rumus Pythagoras.

Perbandingan Panjang Sisi Segitiga
Perbandingan Panjang Sisi Segitiga

Perhatikan \Delta ADC, jika panjang AC = 2 maka panjang AD = 1.

Artikel menarik lainnya :   Perbandingan Senilai Dan Contoh Soalnya

AC^2 = AD^2 + CD^2
2^2 = 1^2 + CD^2
DC^2 = 2^2 - 1^2
DC^2 = 3
DC = \sqrt{3}

Dengan demikian, perbandingan sisi-sisi pada segitiga khusus yang bersudut 30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ} adalah alas : tinggi : sisi miring = 1 : \sqrt{3} : 2

Informasi ini terkait:

gambar segitiga siku-siku sama kaki